急いでます。
対物物損事故を起こしてしまいました。（駐車券を入れるところにぶつけてしまいました。）
その場ですぐに警察を呼び、お店側ともその場で現場検証をし、警察の立会いのもと、損害賠償は支払わなくていいとのことでした。
警察に免許と自賠責保険を見せたのですが、自賠責保険会社に連絡が行くことってありますか？免許を取ったばかりでわからないことが多いうえ、親にバレたくないため今回相談させていただきました。その他連絡が来ることってありますかね？？

自賠責保険は、人身事故が起きた時に被害者の救済が目的の保険です。
今回の事故は対物物損事故ということですので自賠責保険の会社へは連絡がいくことはありません。
また、お店の方とも警察立会いのもと、損害賠償は支払わなくてもいいとのことでしたら、その他の連絡が入ることはないかと思います。