エアコンを使用しながら運転中、15-20分後にエアコンが作動停止してしまいます。　ギアをニュートラルまたはパーキングにすると、一時的にエアコンが作動し始めます。　ホンダディーラーに持って行きましたが、こんな問題は聞いたことがないとこうことでした。　また、エンジンの温度が表示通りに上下しません。

いつ頃のアコードですか。10±5 年くらい前のモデルでしたら「エアコンのコントローラ基板に使われている表面実装形電解コンデンサの液漏れ」によるが原因(傾向性不良)の可能性があります。ある日突然エアコンの具合がわるくなるのでなく、ご機嫌の悪い期間が日ごとに長くなり、最終的に効かなくなったとか、エンジン始動直後10分間くらの間のみ効かないようでしたら「電解コンデンサの液漏れによる容量ぬけ」が原因の可能性が濃厚です。
この不良は電気の知識をある程度もっているアコード乗りのあいだでは有名なはずです。正規ディーラーやコントローラ基板のメーカーであるデンソーで故障診断(コントローラ基板に内蔵されている機能を使います)を受けると「コントローラ基板不良」という結果をくだされます。コントローラ基板の価格は約9万円で、交換工賃を含めると10万円を少し超えます。

アコード、エアコン、電解コンデンサ、修理 などをキーに web を検索すると複数のケースがヒットします。自分で電解コンデンサのみを良品と交換して部品コストとして百円くらいで修理したケースもあります。

参考：
http://minkara.carview.co.jp/userid/561139/car/724764/1286268/note.aspx　
が検索されました。参考にしてみてください。